ずーっとUniversal Controlうまく動作しないな〜と思ってたけど対処法がわかったので共有します
キーボードがうまく動作しない
キーを押すと反映されることはされるが、装飾キー(Command, Option , control, Shift)を押しても動作しないという事象。
これはiPad側の「設定」で
アクセシビリティ > キーボード > フルキーボードアクセス を[オン]にすれば解決する

ちなみにこれをやるとフォーカスが当たった際に青い枠が表示されるようになる。
鬱陶しい場合は[フルキーボードアクセス]項の中にある[自動的に非表示]を3秒くらいにするといい。
マウスがうまく動作しない
これはLogicool(Logitech)製のマウスで発生する問題。
具体的にいうと[Logi Options]というアプリを使ってると発生する。
解決方法は[Logi Options+]にアップグレードする
アップグレード時に旧Logi Optionsをバージョンアップしろと言われる場合がある。
使用しているLogi Optionsのバージョンが古い場合、アップデートしろと言われると思う。その場合はアプリ内のリンクからダウンロードできるが、お前のOSにあったバージョンがないとか言われた場合はわかりづらいがメニューからOSのバージョンを選択できるのでmacOSの最新を選ぶ(おそらく13.0)

アップグレードすると無事に動作するようになる。
マウスのスクロール方向に関する設定(自然か標準)は設定アプリの
[一般] > [トラックパッドとマウス]にある[ナチュラルなスクロール]項で設定する。
Logi Optionsの方はMacを再起動したあとに[アプリケーション]フォルダからゴミ箱に移せば良い。
マウスの方はともかくなんで公式の機能使うために別途設定がいるんだ…とはちょっと思った。
マウスに関しては他のPCに繋ぐ必要とかなければ、純正のMagic Mouseが多機能で不具合もないのでそっちもおすすめ。